Tabla de Derivadas

Aprende a derivar paso a paso con nuestra recopilación de reglas y derivadas inmediatas.

Introducción a las Derivadas

Conceptos fundamentales del análisis diferencial.

La derivada de una función representa la tasa de cambio instantánea de dicha función con respecto a su variable independiente. Geométricamente, corresponde a la pendiente de la recta tangente a la curva en un punto específico.

Para calcular derivadas no siempre es necesario aplicar la definición de límite infinitesimal. En su lugar, utilizamos un conjunto de reglas llamadas reglas de derivación y una tabla de derivadas inmediatas para resolver cualquier función compleja de forma mecánica.

Álgebra de Derivadas (Operaciones)

Sean $f = f(x)$ y $g = g(x)$ dos funciones diferenciables. Sus derivadas se rigen bajo las siguientes reglas algebraicas básicas:

Operación	Fórmula de la Función	Fórmula de la Derivada
Suma y Resta	$y = f \pm g$	$y' = f' \pm g'$
Producto	$y = f \cdot g$	$y' = f' \cdot g + f \cdot g'$
Cociente (División)	$y = \frac{f}{g}$	$y' = \frac{f' \cdot g - f \cdot g'}{g^2}$
Constante por Función	$y = k \cdot f$ (k es constante)	$y' = k \cdot f'$
Regla de la Cadena	$y = f(g(x))$ (Composición)	$y' = f'(g(x)) \cdot g'(x)$

Tabla de Derivadas Inmediatas

Tabla básica de referencia rápida para derivadas inmediatas de funciones simples con respecto a la variable independiente $x$.

Tipo de Función	Función $f(x)$	Derivada $f'(x)$
Constante	$y = k$	$y' = 0$
Variable Simple	$y = x$	$y' = 1$
Potencial	$y = x^n$	$y' = n \cdot x^{n-1}$
Exponencial Base $e$	$y = e^x$	$y' = e^x$
Exponencial Base $a$	$y = a^x$	$y' = a^x \cdot \ln(a)$
Logaritmo Neperiano	$y = \ln(x)$	$y' = \frac{1}{x}$
Logaritmo en Base $a$	$y = \log_a(x)$	$y' = \frac{1}{x \cdot \ln(a)}$
Seno	$y = \sin(x)$	$y' = \cos(x)$
Coseno	$y = \cos(x)$	$y' = -\sin(x)$
Tangente	$y = \tan(x)$	$y' = 1 + \tan^2(x) = \sec^2(x)$
Arco Seno	$y = \arcsin(x)$	$y' = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
Arco Coseno	$y = \arccos(x)$	$y' = \frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
Arco Tangente	$y = \arctan(x)$	$y' = \frac{1}{1+x^2}$

Funciones Elementales vs Compuestas

Comparativa detallada entre la derivación simple de la variable independiente $x$ y la regla de la cadena aplicada a una función compuesta $f(x)$.

Tipo	Simple $y = g(x)$	Derivada Simple $y'$	Compuesta $y = g(f(x))$	Derivada Compuesta $y'$
Constante	$y = k$	$y' = 0$	-	-
Identidad	$y = x$	$y' = 1$	$y = f(x)$	$y' = f'(x)$
Potencial	$y = x^n$	$y' = n \cdot x^{n-1}$	$y = [f(x)]^n$	$y' = n \cdot [f(x)]^{n-1} \cdot f'(x)$
Raíz Cuadrada	$y = \sqrt{x}$	$y' = \frac{1}{2\sqrt{x}}$	$y = \sqrt{f(x)}$	$y' = \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$
Exponencial $e$	$y = e^x$	$y' = e^x$	$y = e^{f(x)}$	$y' = e^{f(x)} \cdot f'(x)$
Exponencial $a$	$y = a^x$	$y' = a^x \cdot \ln(a)$	$y = a^{f(x)}$	$y' = a^{f(x)} \cdot \ln(a) \cdot f'(x)$
Log. Neperiano	$y = \ln(x)$	$y' = \frac{1}{x}$	$y = \ln(f(x))$	$y' = \frac{f'(x)}{f(x)}$
Seno	$y = \sin(x)$	$y' = \cos(x)$	$y = \sin(f(x))$	$y' = \cos(f(x)) \cdot f'(x)$
Coseno	$y = \cos(x)$	$y' = -\sin(x)$	$y = \cos(f(x))$	$y' = -\sin(f(x)) \cdot f'(x)$
Tangente	$y = \tan(x)$	$y' = \sec^2(x)$	$y = \tan(f(x))$	$y' = \sec^2(f(x)) \cdot f'(x)$

Nota sobre la Regla de la Cadena: Cuando la variable es una función compleja $f(x)$ en lugar de simplemente $x$, se aplica la misma regla básica reemplazando $x$ por $f(x)$ y, finalmente, multiplicando todo por la derivada interna $f'(x)$.
Ejemplo: La derivada de $\sin(x^3)$ es $\cos(x^3) \cdot 3x^2$.

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¿Sabías qué?

Gottfried Wilhelm Leibniz e Isaac Newton desarrollaron de forma independiente el cálculo diferencial a finales del siglo XVII. Las notaciones modernas como $f'(x)$ fueron introducidas más tarde por el matemático francés Joseph-Louis Lagrange.