Los números primos han atraído la atención humana desde los primeros días de la civilización. Vamos a intentar explicar lo que son y por qué su estudio entusiasma tanto a los matemáticos como a los aficionados.
Desde el principio de la historia de la humanidad, los números primos despertaron la curiosidad humana. ¿Qué son? ¿Por qué las preguntas relacionadas con ellos son tan difíciles? Una de las cosas más interesantes de los números primos es su distribución entre los números naturales. A pequeña escala, la aparición de los números primos parece aleatoria, pero a gran escala parece haber un patrón, que todavía no se entiende del todo. En este breve artículo, trataremos de seguir la historia de los números primos desde la antigüedad y aprovecharemos esta oportunidad para sumergirnos y comprender mejor el mundo del matemático.
¿Se ha preguntado alguna vez por qué el día se divide en exactamente 24 h, y el círculo en 360 grados? El número 24 tiene una propiedad interesante: se puede dividir en partes enteras iguales de un número relativamente grande. Por ejemplo, 24÷2 = 12, 24÷3 = 8, 24÷4 = 6, y así sucesivamente (¡completa el resto de las opciones usted mismo!). Esto significa que un día puede ser dividido en dos partes iguales de 12 h cada una, de día y de noche. En una fábrica que trabaja sin parar en turnos de 8 h, cada día se divide exactamente en tres turnos.
Numeros primos del 1 al 100 Numeros primos del 1 al 200 Numeros primos del 1 al 1000
Esta es también la razón por la que el círculo se dividió en 360°. Si el círculo se divide en dos, tres, cuatro, diez, doce, o treinta partes iguales, cada parte contendrá un número entero de grados; y hay maneras adicionales de dividir un círculo que no mencionamos. En la antigüedad, la división de un círculo en sectores de igual tamaño con alta precisión era necesaria para varios propósitos artísticos, astronómicos y de ingeniería. Con una brújula y un transportador como únicos instrumentos disponibles, la división de un círculo en sectores iguales tenía un gran valor práctico.
Un número entero que puede escribirse como el producto de dos números más pequeños se denomina número entero compuesto que puede escribirse como el producto de dos números más pequeños, por ejemplo, 24 = 3 × 8. Por ejemplo, las ecuaciones 24 = 4 × 6 y 33 = 3 × 11 muestran que 24 y 33 son números compuestos.
Un número que no se puede descomponer de esta manera se llama número primo, es decir, un número entero que no se puede escribir como el producto de dos números más pequeños, como 7 o 23.
Los números 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 y 29 son todos números primos. De hecho, estos son los primeros 10 números primos (¡puede comprobarlo usted mismo, si lo desea!).
Mirando esta corta lista de números primos ya se pueden revelar algunas observaciones interesantes: Primero, excepto el número 2, todos los números primos son impares, ya que un número par es divisible por 2, lo que lo hace compuesto. Por lo tanto, la distancia entre dos números primos cualesquiera en una fila (llamados números primos sucesivos) es por lo menos 2. En nuestra lista, encontramos números primos sucesivos cuya diferencia es exactamente 2 (como los pares 3,5 y 17,19). También hay espacios más grandes entre los números primos sucesivos, como el espacio de seis números entre 23 y 29; cada uno de los números 24, 25, 26, 27, y 28 es un número compuesto. Otra observación interesante es que en cada uno de los grupos primero y segundo de 10 números (es decir, entre el 1-10 y el 11-20) hay cuatro números primos, pero en el tercer grupo de 10 (21-30) sólo hay dos. ¿Qué significa esto? ¿Los números primos se vuelven más raros a medida que los números crecen? ¿Alguien puede prometernos que podremos seguir encontrando más y más números primos indefinidamente?
Si, en esta etapa, algo te excita y deseas seguir investigando la lista de números primos y las preguntas que planteamos, esto significa que tienes alma de matemático. ¡Alto! No sigas leyendo!2 Toma un lápiz y un papel. Escribe todos los números hasta el 100 y marca los números primos. Comprueba cuántos pares con una diferencia de dos hay. Revisa cuántos números primos hay en cada grupo de 10. ¿Puedes encontrar algún patrón? ¿O la lista de números primos hasta el 100 te parece aleatoria?
¿Ha encontrado todos los números primos menores de 100? ¿Qué método has utilizado? ¿Comprobaste cada número individualmente, para ver si es divisible por números más pequeños? Si esta es la forma que has elegido, definitivamente has invertido mucho tiempo.
Eratóstenes, uno de los más grandes eruditos del período helenístico, vivió unas décadas después de Euclides. Fue el bibliotecario jefe de la biblioteca de Alejandría, la primera biblioteca de la historia y la más grande del mundo antiguo. Se interesó no sólo por las matemáticas sino también por la astronomía, la música y la geografía, y fue el primero en calcular la circunferencia de la tierra con una precisión impresionante para su época. Entre otras cosas, diseñó una forma inteligente de encontrar todos los números primos hasta un número determinado. Como este método se basa en la idea de tamizar (cribar) los números compuestos, se llama la criba de Eratóstenes.
Vamos a Demostrar en que consiste la criba de Eratóstenes en la lista de números primos menores que 120, que tenemos encima. Marca el número 2, ya que es el primer número primo, y luego borre todos sus múltiplos más altos, es decir, todos los números pares compuestos. Pase al siguiente número no borrado, el número 3. Como no fue borrado, no es un producto de números más pequeños, y podemos marcarlo sabiendo que es primo. Una vez más, borre todos sus múltiplos más altos. Note que algunos de ellos, como el 6, ya han sido borrados, mientras que otros, como el 9, serán borrados ahora. El siguiente número no borrado, el 5, será marcado de nuevo. Acontinuación, borra todos sus múltiplos superiores: 10, 15 y 20 ya han sido borrados, pero 25 y 35, por ejemplo, deben ser borrados ahora. Continúe de la misma manera. ¿Hasta cuándo? Intente pensar por qué después de pasar 10=100 no necesitamos continuar el proceso. Todos los números menores de 100 que no se han borrado son números primos y pueden ser marcados con total seguridad!